¿Sabías que existe un objeto que puedes llenar de pintura por dentro, pero que nunca terminarías de pintar por fuera? En matemáticas, esta maravilla se conoce como el Cuerno del Arcángel Gabriel o la Trompeta de Torricelli.
¿Cómo se genera?
Imagina la función f(x) = 1/x para valores de x mayores o iguales a 1. Si la hacemos rotar alrededor del eje X generamos un sólido tridimensional que se va haciendo cada vez más fino y largo, estirándose hasta el infinito.
El escándalo del siglo XVII
Evangelista Torricelli descubrió esta paradoja mucho antes de que el cálculo infinitesimal estuviera consolidado. Para los matemáticos de la época, era un escándalo: ¿Cómo puede algo que mide infinito tener un límite?
Al aplicar integrales hoy en día, vemos que:
El Volumen es Finito: El resultado es exactamente . Podrías llenarlo con unos 3,14 litros de pintura.
El Área es Infinita: El cálculo de la superficie exterior no tiene límite. ¡Jamás terminarías de cubrirlo con una brocha!
Mira la explicación visual en este vídeo que he preparado para mi canal:
. Podrías llenarlo con unos 3,14 litros de pintura.
